8405 - ARQUIMEDES

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Arquimedes
Período: aproximadamente 287 - 212 a.C.
Assuntos matemáticos envolvidos:
Álgebra: equação cúbica; sistema de numeração; equações lineares;
Física: hidrostática; bomba de água em parafuso;
Geometria Espacial: áreas de uma esfera; de uma calota esférica; área de uma superfície esférica; volume da esfera;
Geometria Plana: método clássico para cálculo de pi; a quadratura da parábola; aspiral de Arquimedes; fórmula de Heron;


Um dos maiores matemáticos do século III a.C., natural da cidade de Siracusa, localizada na ilha da Sicília. Nasceu aproximadamente no ano 287 a.C. e morreu durante a Segunda Guerra Púnica em Siracusa em 212 a.C.. Era filho de um astrônomo e também adquiriu uma reputação em astronomia.

Arquimedes pode ter estudado por algum tempo em Alexandria com os alunos de Euclides, e manteve comunicação com os matemáticos de lá, como Cônon, Dosite e Eratóstenes.

Diz a lenda que Siracusa resistiu ao sítio de Roma por quase três anos, devido as engenhosas máquinas de guerra inventadas por Arquimedes para deixar seus inimigos à distância. Entre elas: catapultas para lançar pedras; cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar os navios romanos; invenções para queimar os navios.

Os trabalhos de Arquimedes exibem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas demonstrações. Há cerca de dez tratados que foram preservados até hoje e há vestígio de outros.

Os tratados sobre geometria plana são: A medida de um Círculo onde Arquimedes inaugurou o método clássico para cálculo de ; A quadratura da parábola constituído de vinte e quatro proposições onde mostra que a área de um segmento parabólico é quatro terços da área do triângulo inscrito de mesma base e de vértice no ponto onde a tangente é paralela à base. Esta dedução envolve a soma de uma série geométrica convergente; Sobre as Espirais composto por vinte e oito proposições onde são dedicadas as propriedades da curva (conhecidas hoje como aspiral de Arquimedes) e cuja equação polar é , em particular, encontra-se a área compreendida pela curva e por dois raios vetores de maneira essencialmente igual ao que seria hoje um exercício de cálculo integral.

Através dos árabes sabemos que a fórmula usual para a área de um triângulo em termos de seus lados, conhecida como fórmula de Heron - onde s é o semiperímetro - era conhecida por Arquimedes vários séculos antes de Heron ter nascido. Papus menciona em seus trabalhos o tratado de Arquimedes Sobre alavancas e Têon cita em seus trabalhos um teorema de Arquimedes encontrado no tratado Sobre a Teoria dos Espelhos.

Os tratados sobre geometria espacial são: Sobre a Esfera e o Cilindro escrito em dois volumes e constituído de cinqüenta e três proposições trata, entre outras coisas, do teorema que fornece as áreas de uma esfera e de uma calota esférica. Mostra que a área de uma superfície esférica é exatamente dois terços da área da superfície total do cilindro circular reto circunscrito a ela e que o volume da esfera é exatamente dois terços do volume do mesmo cilindro. O livro II inclui o problema de seccionar uma esfera com um plano de maneira a obter dois segmentos esféricos cujos volumes estejam numa razão dada. Esse problema leva a uma equação cúbica onde é feita uma discussão relativa às condições sob as quais a cúbica pode ter uma raiz real positiva.

Arquimedes escreveu pequenas obras sobre aritmética, uma delas é O contador de areia, que trata de uma curiosa questão: como determinar a quantidade de grãos de areia capaz de preencher uma esfera de centro na Terra e raio alcançando o Sol., ou seja, do tamanho do universo. Nesta obra encontramos observações relacionadas com astronomia, onde Arquimedes utilizou o modelo de universo de Aristarco de Samos, que antecipou a teoria heliocêntrica de Copérnico. Arquimedes vai calculando a quantidade de areia necessária para encher um dedal, um estádio, o volume da Terra e assim por diante, até encher todo o universo. Ao mesmo tempo e paralelamente, vai desenvolvendo um sistema de numeração (que levou a invenção dos logaritmos) capaz de exprimir os valores encontrados neste calculo. Há também o Problema do Gado que envolve oito incógnitas inteiras relacionadas por sete equações lineares e sujeitas ainda a duas condições adicionais a saber, que a soma de certo par de incógnitas um quadrado perfeito e que a soma de outro par determinado de incógnitas é um número triangular. Sem as condições adicionais, os menores valores das incógnitas são números da ordem de milhões; com essas condições, uma das incógnitas deve ser um número com mais que 206 500 dígitos!

Há dois trabalhos de Arquimedes sobre matemática aplicada: Sobre o Equilíbrio de Figuras Planas e Sobre os Corpos Flutuantes. O primeiro deles consta de dois livros e contém vinte e cinco proposições onde mediante um tratamento postulacional, obtêm-se as propriedades elementares dos centróides e se determinam centróides de várias áreas planas, terminando com a do segmento parabólico e a de uma área limitada por uma parábola e duas cordas paralelas. Sobre os Corpos Flutuantes é composto por dois livros com noventa proposições, e representa a primeira aplicação da matemática à hidrostática. O tratado baseia-se em dois postulados, desenvolvendo primeiro as leis familiares da hidrostática e depois considera alguns problemas muito mais difíceis, concluindo com um estudo notável sobre a posição de repouso e estabilidade de um segmento (reto) de parabolóide de revolução mergulhado num fluido.

O tratado O Método encontra-se na forma de uma carta endereçada a Eratóstenes e é importante devido às informações que fornece sobre o método que Arquimedes usava para descobrir muitos de seus teoremas. Arquimedes o usava de maneira experimental para descobrir resultados que ele então tratava de colocar em termos rigorosos mediante o método de exaustão.

Atribuem-se dois outros trabalhos perdidos a Arquimedes: Sobre o Calendário e Sobre a Construção de Esferas. Neste último havia a descrição de um planetário construído por ele para mostrar os movimentos do Sol, da Lua e dos cinco planetas conhecidos em seu tempo. Provavelmente o mecanismo era acionado pela água.

A invenção mecânica de Arquimedes mais conhecida é a bomba de água em parafuso, construída por ele para irrigar campos, drenar charcos e retirar água de porões da navios. O engenho ainda hoje é utilizado no Egito.


Alterado em: 29/01/2003
Texto de: Valéria Ostete Jannis Luchetta; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies
Bibliografia:
Boyer, Carl B., História da Matemática, Edgard Blücher, São Paulo, 1974.
Eves, Howard, Introdução à História da Matemática, Unicamp, Campinas, 1997.
Polcino, César M. & Bussab, José Hugo O., A Geometria na Antigüidade Clássica, FTD, São Paulo, 1999.

Compilado em: 26 de Fevereiro de 2008

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