8401 - MÁXIMO DIVISOR COMUM MDC) E MINIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

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Máximo divisor comum e Mínimo múltiplo comum
Período: 580 - 500 a.C. aproximadamente
Assuntos matemáticos envolvidos:
Álgebra: Álgebra


Máximo Divisor Comum

Atualmente a definição de Máximo Divisor Comum (MDC) pode ser assim formalizada:
Sejam a, b e c números inteiros não nulos, dizemos que c é um divisor comum de a e b se: c divide a (escrevemos c|a) e c divide b (c|b).


Denotando-se D(a,b) como sendo o conjunto de todos os divisores comum de a e b, denomina-se Máximo Divisor Comum de a e b o maior de seus divisores comuns, isto é, mdc(a,b) = max {m : m pertença ao conjunto D(a,b)}.

Como exemplo, vamos calcular o MDC dos números 12 e 18.

Inicialmente decompomos estes números em seus fatores primos (para encontrar os divisores):



Agora podemos exibir o conjunto dos divisores D(12,18) = {2,3,6}, pois 2|12 e 2|18, 3|12 e 3|18, 6|12 e 6|18.

Logo pela definição, segue que

mdc(12,18) = max{i: i pertença à D(12,18)} = max{2,3,6} = 6.


Mínimo Multiplo Comum

De modo análogo podemos formalizar o conceito de Mínimo Múltiplo Comum (MMC):

Sejam a, b e c números inteiros não nulos. Dizemos que c é um múltiplo comum de a e b se: a divide c (a|c) e b divide c (b|c).

Denotando-se M(a,b) como o conjunto de todos os múltiplos comuns positivos de a e b, Denomina-se Mínimo Múltiplo Comum de a e b, o menor de seus múltiplos positivos comuns, isto é, mmc(a, b) = mim {m : m pertença ao conjunto M(a,b)}.

Para ilustrar o conceito examinaremos o MMC dos números 12 e 18. Para isso podemos gerar os primeiros múltiplos nos conjuntos de multiplos de ambos:
M(12) = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...}
M(18) = { 18, 36, 54, 72, 90, 108, ... }
deste, fazendo a interseção entre ambos os conjuntos obtemos M(12, 18) = { 36, 72, ... }, e portanto

mmc(12, 18) = mim {i: i pertença à M(12, 18)} = min{ 36, 72, ... } = 36.
(note que 12|36 e 18|36).



Alterado em: 22/02/2008, 28/01/2003, 13/09/2000
Texto de: Valéria Ostete Jannis Luchetta; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies; revisão LOB
Bibliografia:
Polcino, César M. & Coelho, Sonia P., Números - Uma Introdução à Matemática, EDUSP, São Paulo, 1999.

Compilado em: 26 de Fevereiro de 2008

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