8410 - PEANO

voltar

www.matematica.br


Axiomas de Peano
Período: 1858 a 1932 d.C.
Assuntos matemáticos envolvidos:
Álgebra: sistemas lineares;
Matemática Elementar: lógica matemática; introdução do simbolismo matemático;

Giuseppe Peano, é um autor italiano, cujo nome é lembrado até hoje em conexão com os axiomas por ele introduzidos, dos quais dependem tantas construções rigorosas da álgebra e da análise. O que motivou seu trabalho foi o desejo de expressar toda a matemática em termos de um cálculo lógico. Em seu Formulaire de Mathématiques, que contém cinco volumes ( escrito com a participação de colaboradores ) publicados a partir de 1894, desenvolveu uma linguagem formalizada que continha não só a lógica matemática como todos os ramos mais importantes da matemática. Atraiu um grande número de colaboradores e discípulos pelo fato de evitar o uso de uma linguagem metafísica e de introduzir símbolos: tais como (pertence à classe de), (soma lógica ou união), (produto lógico ou intercessão) e (contém) - muitos deles usados até hoje. Para seus fundamentos da aritmética ele escolheu três conceitos primitivos - zero, número ( que, no contexto, se refere a inteiros positivos), e a relação "é sucessor de" - satisfazendo aos cinco postulados seguintes:

Zero é um número.

Se a é um número, o sucessor de a é um número.

Zero não é o sucessor de um número.

Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais.

Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então todo número está em S.


Em 1888, introduziu a definição axiomática de espaço vetorial, chamando de sistemas lineares. Os axiomas de Peano, foram formulados pela primeira vez em 1889 na Arithmetices Principia nova methodo exposita, que representava a tentativa de reduzir a aritmética comum a puro simbolismo formal. Peano exprimia os postulados em símbolos, em vez das palavras que usamos. O método postulacional atingiu novo nível de precisão, sem ambigüidade de sentido e sem hipóteses ocultas. Ele também desenvolveu a lógica simbólica.

Em 1890, Peano mostrou que a matemática podia surpreender o senso comum quando construiu curvas continuas que enchem o espaço - isto é, curvas dadas por equações paramétricas x = f(t), y = g(t), onde f e g são funções reais contínuas no intervalo , cujos pontos preenchem completamente o quadrado unitário . Esse paradoxo combina perfeitamente com a descoberta de Cantor de que não há mais pontos no quadrado unitário que no segmento de reta unitário. Porém, em 1903, Peano se distraiu com a invenção da linguagem internacional que ele chamou Interlíngua ou Latino sine flexione, com vocabulário tirado do latim, francês, inglês e alemão. Esse movimento foi mais efêmero que sua estrutura axiomática da aritmética.

No final do século XIX, com a aritmetização da análise e os axiomas de Peano, a maior parte da matemática conseguiu base estritamente axiomática. Peano foi um dos precursores do logicismo cuja expressão definitiva é a monumental obra Principia Mathematica de Whitchead e Russell.










Alterado em: 21/10/2000
Texto de: Valéria Ostete Jannis Luchetta; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies
Bibliografia:
Boyer, Carl B., História da Matemática, Edgard Blücher, São Paulo, 1974.
Eves, Howard, Introdução à História da Matemática, Unicamp, Campinas, 1997.

Compilado em: 26 de Fevereiro de 2008

voltar