8404 - HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

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Duplicação do cubo
Período: 440 a 180 a.C. aproximadamente
Assuntos matemáticos envolvidos:
Geometria: duplicação do cubo

A duplicação do cubo é um dos "três problemas famosos (ou clássicos)"da antigüidade. Não sabemos precisamente quando e por quem este problema foi formulado pela primeira vez, pois existem vários relatos a respeito. Uma das versões diz que como os délios haviam sido atingidos por uma praga, uma delegação foi enviada ao oráculo de Apolo em Delos para perguntar como a peste poderia ser combatida. Este respondeu que para tanto o altar de Apolo, cuja forma era cúbica, deveria ser dobrado. Uma outra versão diz que o rei Minos insatisfeito com o tamanho do túmulo de seu filho Glauco ordenou que o túmulo fosse dobrado, porém sem que perdesse a forma original.

Os gregos obviamente estavam familiarizados com um problema semelhante, porém bem mais simples: duplicar o quadrado.



Dado um quadrado ABCD, traçar a sua diagonal BD e construir um quadrado de lado BD. É fácil perceber que BDEF tem o dobro da área de ABCD. Assim dado um quadrado de lado a é possível encontrar um outro quadrado de lado b cuja área seja o dobro da área do primeiro, portanto (onde b é a diagonal do quadrado original).


Talvez tenha sido esta simples construção que levou os gregos a pensarem em uma solução para o problema da duplicação do cubo.

O primeiro grande passo foi dado por Hipócrates de Chios, provavelmente não muito depois da aparição do problema. Ele propunha encontrar duas médias proporcionais entre segmentos de comprimento s e 2s, ou seja, achar x e y tal que:

Da primeira igualdade deduzimos que e da segunda igualdade que . Substituindo o valor de y na segunda igualdade temos que . Assim dado o cubo de lado s encontramos um outro de lado x tal que o volume do segundo é o dobro do volume do primeiro. Porém não há construção geométrica para esta dupla proporção.

Também devemos considerar a solução proposta por Arquitas de Tarento, à respeito da qual Heath [Heath, 1931] escreveu:

"A solução de Arquitas é a mais notável de todas, especialmente quando sua data é considerada (primeira metade do séc IV a.C.) porque não é nenhuma construção plana mas uma corajosa construção em três dimensões, determinando um certo ponto como a intersecção de três superfícies de revolução..."

Entretanto todas as soluções eram teóricas e nenhuma solução pratica foi encontrada.

Apenas no séc XIX , mais de 2000 anos depois da formulação do problema foi que se estabeleceu a impossibilidade da construção sob a limitação de usar apenas régua e compasso (instrumentos euclideanos).



Alterado em: 12/12/2001
Texto de: Fernanda Buhrer Rizzato; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies
Bibliografia:
Boyer, Carl B., História da Matemática, Edgar Bluncher Ltda, São Paulo, 1996.
Eves, Howard, Introdução à História da Matemática, Ed. Unicamp, Campinas, 1997.
Heath, Thomas L., A History of Greek Mathematics I, Oxford, 1931
Polcino, César M. & Bussab, José Hugo O., A geometria na antiguidade clássica, FTD, São Paulo, 1999.

Compilado em: 26 de Fevereiro de 2008

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