8397 - NÚMEROS FIGURADOS

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Números Figurados
Período: 580 - 500 a.C. aproximadamente
Assuntos matemáticos envolvidos:
Geometria: representação de números através de figuras geométricas;

Os pitagoricos desejavam compreender a natureza íntima dos números, então elaboraram os números figurados que são números expressos como reunião de pontos numa determinada configuração geométrica, isto é, a quantidade de pontos representa um número, e estes são agrupados de formas geométricas sugestivas. Os diagramas abaixo trazem alguns números figurados.


números triangulares


números quadrados


números pentagonais

Enunciaremos e provaremos alguns teoremas relativos a números figurados, como era feito pelos pitagóricos:

Teorema I: O número triangular é igual à soma dos n primeiros inteiros positivos.




Teorema II: Todo número quadrado é a soma de dois números triangulares sucessivos.
Observamos que um número quadrado na sua forma geométrica, pode ser dividido como na figura abaixo.



Vamos fazer a prova do teorema algebricamente. Seja o enésimo número triangular , dado pela soma da progressão aritmética,

,

seja o enésimo número quadrado igual à . Temos



Teorema III: o enésimo número pentagonal é igual a n mais três vezes o (n-1) - ésimo número triangular.



Seja o enésimo número pentagonal, , dado pela soma de uma progressão aritmética.



Teorema III: A soma dos n primeiros inteiros ímpares, começando com 1, é o quadrado de n.



Calculando a soma da progressão aritmética, temos:



que demonstra o teorema.

















Alterado em: 21/10/2000
Texto de: Valéria Ostete Jannis Luchetta; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies
Bibliografia:
Boyer, Carl B., História da Matemática, Edgard Blücher, São Paulo, 1974.
Eves, Howard, Introdução à História da Matemática, Unicamp, Campinas, 1997.

Compilado em: 26 de Fevereiro de 2008

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VALÉRIA OSTETE JANIIS LUCHETTA