8402 - SEÇÃO ÁUREA

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Secção Áurea
Período: 580 - 500 a.C. aproximadamente
Assuntos matemáticos envolvidos:
Geometria: secção áurea


Dizemos que um ponto divide um segmento de reta em média e extrema razão, se o mais longo dos segmentos é média geométrica entre o menor e o segmento todo. A razão entre o segmento menor e o segmento maior chama-se razão áurea. Esse nome só foi usado uns dois mil anos depois - mais ou menos pela época em que Kepler escrevia liricamente:

A geometria tem dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de jóia preciosa

A construção da razão áurea eqüivale à resolução de uma equação quadrática. Para mostrar isso, seja AB = a e AC = x então pela propriedade da secção áurea e multiplicando médios e extremos temos a equação , cujo resultado é:



Provavelmente os pitagóricos tenham utilizado um processo geométrico para descobrir isso. A forma tradicional, encontrada no livro Os elementos de Euclides, de resolução geométrica desta proporção é a seguinte: Dado o segmento AB, constroi-se o quadrado ABA'B'; constroi-se M como o ponto médio de AA'. Prolonga-se o segmento AA' e constroi-se a circunferência de centro M e raio MB', acha-se o ponto C de interseção da circunferência com a semi-reta AA'; constroi-se o quadrado de lado A'C. O prolongamento do lado DD' determina o ponto X em AB que seciona o segmento na razão desejada.



A justificativa desta construção baseia-se na aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo MA'B'. Fazendo AB = a e MC = d , aplicando o teorema de Pitágoras temos:







Fazendo a=1 temos

O pentagrama ou pentágono estrelado era o símbolo especial da escola pitagórica, esta figura envolvia um misticismo, provavelmente, devido às suas propriedades, pois ao desenharmos um pentágono regular e traçarmos as suas diagonais, veremos que elas se cruzam e formam um novo pentágono interior ao anterior. A interseção de duas diagonais divide a diagonal de uma forma especial chamada razão áurea.

Abaixo são apresentadas construções para a razão áurea e pentágono (via razão áurea), utilizando o programa de Geometria Interativa iGeom.


Ilustração dinâmica da razão áurea: clique sobre os pontos A ou B, solte o botão do "mouse" e mova-o pela tela.

Ilustração dinâmica do pentágono construido via razão áurea: clique sobre os pontos A ou B, solte o botão do "mouse" e mova-o pela tela.


Alterado em: 26/09/2000
Texto de: Valéria Ostete Jannis Luchetta; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies
Bibliografia:
Boyer, Carl B., História da Matemática, Edgard Blücher, São Paulo, 1974.
Polcino, César M. & Bussab, José Hugo O., A Geometria na Antigüidade Clássica, FTD, São Paulo, 1999.

Compilado em: 26 de Fevereiro de 2008

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COPYRIGHT VALÉRIA OSTETE JANNIS LUCHETTA